Recherche fondamentale – Vers un modèle d’approche modélisant la dispersion de l’amiante

Avant-propos

Qualiom Eco compte parmi ses collaborateurs un mathématicien hors pair, Alexandre THOREL, qui travaille sur des modèles mathématiques de dispersion de l’amiante dans l’air. Dans cet article il vous présente ses travaux et le résultat de ses recherches. Si vous avez des questions précises à lui poser (le sujet étant relativement pointu), utilisez notre formulaire de contact!

Introduction

Depuis de nombreuses années, la présence d’amiante dans différents habitats (bâtiments, maisons) pose problème. De ce fait, la mesure de la quantité d’amiante, au cours du temps, dans un habitat devient une question centrale.

L’amiante, qui est un élément chimique sous forme de fibre, a de très bonne propriétés physiques et chimiques. Il est bien connu que l’amiante a la propriété d’être incombustible et il résiste à la traction et à la torsion et on ne peut pas le corroder (dégrader par une action chimique). Il est aussi un bon isolant thermique et électrique. Par contre, il est très dangereux pour la santé lorsque ses fibres ont une longueur supérieur ou égale à 5 μm, une largeur inférieure ou égale à 3 μm et un rapport longueur sur largeur supérieur ou égal à 3.

Du fait de ces propriétés, on le rencontre généralement sous une forme dite “liée”. Cette amiante liée est un mélange de fibre d’amiante et d’un autre composé chimique (colle, …) servant à améliorer les propriétés du composé chimique. La diffusion de la poussière d’amiante est alors influencée par ce composé.

Dispersion de l’amiante: vers un modèle mathématique

L’étude mathématique de la dynamique de la poussière d’amiante permet d’avoir un renseignement précis du comportement de la densité u(t, x) au temps t et à la position x de l’espace (c’est-à-dire, le nombre de particules dans un volume donné, par exemple 3 particules par mm3). Considérons le cas où nous avons deux pièces communicantes dans lesquelles de la poussière (d’amiante) se disperse.

Plus précisément, notre modèle d’habitats est composé, par exemple, de deux pièces communicantes.

dispersion de l'amiante - Figure 1

Les faces roses sont supposées infranchissables. Les faces violettes peuvent “laisser sortir” ou “laisser entrer” la poussière (d’amiante) selon le taux de dispersion spécifique à chaque pièce. Sur la face jaune, on a des conditions dites “de transmission”. C’est-à-dire des conditions qui modélisent l’effet de la circulation de la poussière (d’amiante) entre les deux pièces, sachant qu’on a supposé que la dispersion de la poussière (d’amiante) est différente dans chaque pièce.

La diffusion de poussière (dispersion de l’amiante) est modélisée par l’équation:

k, l ∈ ℜ*, le terme f représente une source (de poussière) et u est la densité de la poussière.
Dans ce modèle, le terme Δu, appelé laplacien de u, représente la dispersion de la densité u en fonction des interactions locales (proches). De la même manière, le terme −Δ²u, appelé bilaplacien de u, représente la dispersion induite par les interactions à longues portées (éloignées), voir Figure 2.

dispersion de l'amiante - figure 2

À titre d’exemple, le cas d’un tronçon d’autoroute où les voitures se dispersent d’une manière homogène (pas d’accident, pas de ralentissement, …) correspond au cas où on ne tient compte que de l’effet local, alors que le cas où il y a une inhomogénéité (ralentissement d’un ou plusieurs véhicules, accidents, radars, …) correspond aux effets locaux et à longue portée.
Les coefficients l et k représente respectivement une “moyenne” pour la dispersion induite par les interactions à courtes portées (locales) et pour la dispersion induite par les interactions à longues portés.

La quantité

−kΔ²u + lΔu,

modélise la dispersion généralisée à coefficients de diffusion constants (k et l). Notons que cette combinaison du bilaplacien et du laplacien rend notre modèle mathématique ci-dessus plus complexe mais plus réaliste. Enfin, le terme ∂u / ∂t représente la variation de la densité u en fonction du temps.

Nous avons montré que le modèle mathématique est bien posé et on a obtenu des résultats optimaux sur le comportement de la densité de la poussière. Ce résultat a été publié dans un journal international (Journal of Mathematical Analysis and Applications, consultable ici). Ces résultats obtenus nous servent pour l’analyse du cas non stationnaire actuellement en cours d’étude.

Ce modèle peut aussi s’appliquer à l’étude de dynamiques de population autre que la poussière d’amiante (avec les coefficients de diffusion k et l adaptés): par exemple, celle constituée d’insectes ravageurs comme le carpocapse des pommiers et poiriers, ou celle constituée d’abeilles pour la pollinisation, etc.

A propos de l’auteur

Après avoir obtenu sa licence de Mathématiques à l’université du Havre, Alexandre Thorel a obtenu un master de Mathématiques-Informatique spécialité “Equations Différentielles Abstraites” . Il a ensuite poursuivi avec un Doctorat de Mathématique Appliquées ayant pour sujet “Equation de diffusion généralisée pour un modèle de croissance et de dispersion d’une population incluant des comportements individuels à la frontière des divers habitats”. Alexandre soutiendra sa thèse le 24 mai 2018.

Alexandre est par ailleurs passionné d’aviation et plus particulièrement de voltige. Il est d’ailleurs Champion de France en individuelle de voltige aérienne en catégorie promotion et Champion de France par équipe (toujours en voltige aérienne) en catégorie biplace.

Vous pouvez consulter le CV d’Alexandre ICI.

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